Logika Dasar Matematika

1) Pernyataan atau kalimat

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

Ada dua jenis pernyataan matematika, yaitu :
Kalimat tertutup, merupakan pernyataan yang nilai kebenarannya sudah pasti.
Contoh :

a) 5 x 4 = 20 (pernyataan tertutup yang benar)
b) 5 + 4 = 20 (pernyataan tertutup yang salah)

Kalimat terbuka, merupakan pernyataan yang kebenarannya belum pasti.
Contoh :

a : Ada daun yang berwarna hijau
b : Gula putih rasanya manis

2) Ingkaran Pernyataan atau negasi

Ingkaran atau negasi suatu pernyataan adalah pernyataan yang menyangkal pernyataan yang diberikan. Ingkaran suatu pernyataan dapat dibentuk dengan menambah “Tidak benar bahwa ...” di depan pernyataan yang diingkar. Ingkaran pernyataan adalah ~ p.
Contoh :

Misalkan pernyataan p : Tembakau yang mengandung nikotin.
Ingkaran penyataan p adalah ~ p. Tidak benar bahwa tembakau mengandung nikotin.

Tabel kebenaran dari ingkaran

3) Pernyataan Majemuk

a. Konjungsi
Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “dan” sehingga membentuk pernyataan majemuk “p dan q” yang disebut konjungsi. Konjungsi “p dan q” dilambangkan dengan "P^q''

b. Disjungsi

Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “atau” sehingga membentuk pernyataan majemuk “p atau q” yang disebut disjungsi. Disjungsi p atau q dilambangkan dengan "p=>q''.

c. Implikasi

Implikasi “jika p maka q” dilambangkan dengan ''pvq''

.

d. Biimplikasi

Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dilambangkan dengan ''p<=>q''

.

4) Ekuivalensi Pernyataan – Pernyataan Majemuk

5) Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari sebuah implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi tersebut.

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.

Hukum logika

1. Hukum komutatif
• p ∧ q ≡ q ∧ p
• p ∨ q ≡ q ∨ p
2. Hukum asosiatif
• (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
• (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
3. Hukum distributif
• p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
• p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
4. Hukum identitas
• p ∧ B ≡ p
• p ∨ S ≡ p
5. Hukum ikatan
• p ∧ S ≡ S
• p ∨ B ≡ B
6. Hukum negasi
• p ∧ ~p ≡ B
• p ∨ ~p ≡ S
7. Hukum negasi ganda
• ~(~p) ≡ p
8. Hukum idempotent
• p ∧ p ≡ p
• p ∨ p ≡ p
9. Hukum De Morgan
• ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
• ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
10. Hukum penyerapan
• p ∧ (p ∨ q) ≡ p
• p ∨ (p ∧ q) ≡ p
11. Negasi B dan S
• ~B ≡ S
• ~S ≡ B